HTTP
HyperText Transfer Protocol

El protocolo de transferencia de hipertexto (HTTP, HyperText Transfer Protocol) es el protocolo usado en cada transacción de la Web (WWW)

El protocolo de transferencia de hipertexto (HTTP, HyperText Transfer Protocol) es el protocolo usado en cada transacción de la Web (WWW). HTTP fue desarrollado por el consorcio W3C y la IETF, colaboración que culminó en 1999 con la publicación de una serie de RFC, siendo el más importante de ellos el RFC 2616, que especifica la versión 1.1.

HTTP define la sintaxis y la semántica que utilizan los elementos software de la arquitectura web (clientes, servidores, proxies) para comunicarse. Es un protocolo orientado a transacciones y sigue el esquema petición-respuesta entre un cliente y un servidor. Al cliente que efectúa la petición (un navegador o un spider) se lo conoce como "user agent" (agente del usuario). A la información transmitida se la llama recurso y se la identifica mediante un URL. Los recursos pueden ser archivos, el resultado de la ejecución de un programa, una consulta a una base de datos, la traducción automática de un documento, etc.

HTTP es un protocolo sin estado, es decir, que no guarda ninguna información sobre conexiones anteriores. El desarrollo de aplicaciones web necesita frecuentemente mantener estado. Para esto se usan las cookies, que es información que un servidor puede almacenar en el sistema cliente. Esto le permite a las aplicaciones web instituir la noción de "sesión", y también permite rastrear usuarios ya que las cookies pueden guardarse en el cliente por tiempo indeterminado.

TCP/IP

Transmission Control Protocol

TCP (Transmission-Control-Protocol, en español Protocolo de Control de Transmisión) es uno de los protocolos fundamentales en Internet. Fue creado entre los años 1973 - 1974 por Vint Cerf y Robert Kahn.

Muchos programas dentro de una red de datos compuesta por computadoras pueden usar TCP para crear conexiones entre ellos a través de las cuales puede enviarse un flujo de datos. El protocolo garantiza que los datos serán entregados en su destino sin errores y en el mismo orden en que se transmitieron. También proporciona un mecanismo para distinguir distintas aplicaciones dentro de una misma máquina, a través del concepto de puerto.

TCP da soporte a muchas de las aplicaciones más populares de Internet, incluidas HTTP, SMTP, SSH y FTP.

Funciones de TCP

En la pila de protocolos TCP/IP, TCP es la capa intermedia entre el protocolo de internet (IP) y la aplicación. Habitualmente, las aplicaciones necesitan que la comunicación sea fiable y, dado que la capa IP aporta un servicio de datagramas no fiable (sin confirmación), TCP añade las funciones necesarias para prestar un servicio que permita que la comunicación entre dos sistemas se efectúe libre de errores, sin pérdidas y con seguridad.

Los servicios provistos por TCP corren en el anfitrión (host) de cualquiera de los extremos de una conexión, no en la red. Por lo tanto, TCP es un protocolo para manejar conexiones de extremo a extremo, y como una serie de conexiones de extremo a extremo pueden existir a través de una serie de conexiones punto a punto, estas conexiones extremo-extremo son llamadas circuitos virtuales. Éstas son las características de TCP:

· Orientado a conexión: dos computadoras establecen una conexión para intercambiar datos. Los sistemas de los extremos se sincronizan con el otro para manejar el flujo de paquetes y adaptarse a la congestión de la red.

· Operación Full-Duplex: una conexión TCP es un par de circuitos virtuales, cada uno en una dirección. Sólo los dos sistemas finales sincronizados pueden usar la conexión.

· Error Checking: una técnica de checksum es usada para verificar que los paquetes no estén corrompidos.

· Acknowledgements: sobre recibo de uno o más paquetes, el receptor regresa un acknoledgement (reconocimiento) al transmisor indicando que recibió los paquetes. Si los paquetes no son notificados, el transmisor puede reenviar los paquetes o terminar la conexión si el transmisor cree que el receptor no está más en la conexión.

· Flow Control: si el transmisor está desbordando el buffer del receptor por transmitir demasiado rápido, el receptor descarta paquetes. Los acknowledgement fallidos alertan al receptor para bajar la tasa de transferencia o dejar de transmitir.

· Servicio de recuperación de Paquetes: el receptor puede pedir la retransmisión de un paquete. Si el paquete no es notificado como recibido (ACK), el transmisor envía de nuevo el paquete.

Los servicios confiables de entrega de datos son críticos para aplicaciones tales como transferencias de archivos (FTP por ejemplo), servicios de bases de datos, proceso de transacciones y otras aplicaciones de misión crítica en las cuales la entrega de cada paquete debe ser garantizada.

HyperText Markup Language

HTML, siglas de HyperText Markup Language (Lenguaje de Marcas de Hipertexto), es el lenguaje de marcado predominante para la construcción de páginas web. Es usado para describir la estructura y el contenido en forma de texto, así como para complementar el texto con objetos tales como imágenes. HTML se escribe en forma de "etiquetas", rodeadas por corchetes angulares (<,>). HTML también puede describir, hasta un cierto punto, la apariencia de un documento, y puede incluir un script (por ejemplo Javascript), el cual puede afectar el comportamiento de navegadores web y otros procesadores de HTML.

HTML también es usado para referirse al contenido del tipo de MIME text/html o todavía más ampliamente como un término genérico para el HTML, ya sea en forma descendida del XML (como XHTML 1.0 y posteriores) o en forma descendida directamente de SGML (como HTML 4.01 y anteriores).

Por convención, los archivos de formato HTML usan la extensión .htm o .html.

NUMERO DE ORO

El número áureo o de oro (también llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:

$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618033988\,749\,894\,848\,204\, 586\,834\,365\,638\ ...$

Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.

DEFINICION

Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:

$\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi$

Para obtener el valor de $\varphi$ a partir de esta razón considere lo siguiente:

Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:

$\frac{1 + x}{x} = \frac{x}{1}$

Multiplicando ambos lados por x y reordenando:

$\ x^2 - x -1 = 0$

Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la ecuación son

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \varphi \approx 1,61803$

$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{\varphi} \approx -0,61803$

La solución positiva es el valor del número áureo, y esto es una prueba formal de que el número áureo es irracional, ya que incluye la raíz de un número positivo.

El número áureo en las Matemáticas

Propiedades y representaciones

Propiedades algebraicas

Φ es el único número real positivo tal que:

$\varphi^2 = \varphi + 1\$

La expresión anterior es fácil de comprobar:

$\varphi^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{2^2} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2^2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$\varphi + 1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Φ posee además las siguientes propiedades:

$\varphi - 1 = \frac{1}{\varphi} \$

$\varphi^3 = \frac {\varphi + 1} {{\varphi - 1}} \$

Las potencias del número áureo pueden ser escritas en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, estableciendo una verdadera sucesión recurrente de potencias.

El caso más simple es: $Φ n = Φ n - 1 + Φ n - 2$ , cualquiera sea n un número real. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.

Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma $a 1 u n + k - 1 + a 2 u n + k - 2 + ... + a k u n$ , donde $a i$ es cualquier número real o complejo y k es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es $k = 2$ , $a 1 = 1$ y $a 2 = 1$ .

Pero podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y escribir:

$Φ n = Φ n - 2 + 2Φ n - 3 + Φ n - 4$ . Aquí $k = 4$ , $a 1 = 0$ , $a 2 = 1$ , $a 3 = 2$ y $a 4 = 1$ .

Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden 6:

$Φ n = Φ n - 3 + 3Φ n - 4 + 3Φ n - 5 + Φ n - 6$

En general:

$\Phi^n = \sum_{i=0}^{\textstyle \frac {1}{2} k}{\textstyle \frac{1}{2}k\choose i}\Phi^{\textstyle n-\left(\textstyle \frac{1}{2}k+i\right)}$ ; $k\in \mathbb{N}$ , k un número par, $n\in \mathbb{R}$ , $i\in \mathbb{N}$ .

En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8, ..., 2k; donde k es un número natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de $Φ$ , hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de $Φ$ corresponde a una potencia positiva de su inverso, la sección áurea.

Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el número e hay un parentesco.

El número áureo $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ es la unidad fundamental «ε» del cuerpo $\mathbb{R}\left(\sqrt{5}\right)$ y la sección áurea $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ es su inversa, « $\varepsilon^{-1}$ ». En esta extensión el «emblemático» número irracional $\sqrt{2}$ cumple las siguientes igualdades:

$\sqrt{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\sqrt{3-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\sqrt{3+\sqrt{5}}$ .

Representación mediante fracciones continuas

La expresión mediante fracciones continuas es:

$\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi} \quad \longrightarrow \quad \varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}$

Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también la más simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta. Esa propiedad hace que además el número áureo sea un número mal aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado de aproximabilidad mediante racionales posible.^[2]

Representación mediante ecuaciones algebraicas [editar]

$(\varphi)(\varphi - 1) = 1 \quad \longrightarrow \quad (\varphi)^2 - \varphi - 1 = 0 \quad \longrightarrow \quad \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

El número áureo $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ y la sección áurea $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ son soluciones de las siguientes ecuaciones:

$\ x^2 - \sqrt{5}\, x + 1 = 0$

$\ x^3 - y^3 - 4 = 0$

$\ x^4 - 3 x^2 + 1 = 0 = (x^2 - x - 1) (x^2 + x - 1)$

Representación trigonométrica

$\varphi = 1+2\sin(\pi/10) = 1 + 2\sin 18^\circ$

$\varphi = {1 \over 2}\csc(\pi/10) = {1 \over 2}\csc 18^\circ$

$\varphi = 2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ$

$\varphi = \frac{1}{2} sec \frac{2}{5} \, \pi = \frac{1}{2} sec 72^\circ$

Estas corresponden al hecho de que el lado de un pentágono regular es φ veces la longitud de su radio y de otras relaciones similares en el pentágrama.

En 1994 se derivaron las siguientes ecuaciones relacionando al número áureo con el número de la Bestia:

$\frac{\varphi}{2}=-\sin666^\circ=-\cos(6\cdot 6 \cdot 6^\circ).$

Lo que puede combinarse en la expresión:

$\varphi=-\sin666^\circ-\cos(6\cdot 6 \cdot 6^\circ).$

Sin embargo, hay que notar que estas ecuaciones dependen de que se elijan los grados sexagesimales como unidad angular, ya que las ecuaciones no se mantienen para unidades diferentes.

Representación mediante raíces anidadas

$\varphi = \sqrt{1 + \varphi} \quad \longrightarrow \quad \varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 +\cdots }}}}$

Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917.

El teorema general dice:

La expresión $\lim_{n \to \infty} \sqrt{a_1 + \sqrt{a_2 + \sqrt{a_3 + \sqrt{a_4 +\sqrt{\cdots + \sqrt{a_n}}}}}}$ (donde $a i = a$ ), es igual a la mayor de las raíces de la ecuación x² - x - a = 0; o sea, $\frac {1 + \sqrt{1 + 4a}}{2}$

Relación con la serie de Fibonacci

Si se denota el enésimo número de Fibonacci como F_n, y al siguiente número de Fibonacci, como F_{n + 1}, descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón oscila siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: $\textstyle \frac{3}{2}$ = 1.5, $\textstyle \frac{8}{5}$ = 1.6, y $\textstyle \frac{21}{13}$ = 1.61538461..., lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:

$\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}} = \lim_{n \to \infty}\frac{F_{n +1}}{F_n} = \phi$

Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo aleman Johannes Kepler, sin embargo, pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático inglés Robert Simson.

A mediados del siglo XIX el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:

$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left [ \left (\frac{1 +\sqrt{5}}{2} \right )^n - \left (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right )^n \right ]\quad=\frac{1}{\sqrt{5}} \left [ \left ( \phi \right )^n - \left (\frac{-1}{\phi} \right )^n \right ] \quad$

El número áureo en la geometría

El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, pentágonos o aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.

Relaciones entre las partes del pentágono.
Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentáculo o pentagrama.
Relaciones entre las partes del decágono.
Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.

El rectángulo áureo de Euclides

El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides en su proposición 2.11 de Los elementos obtiene su construcción.>

$GC = \sqrt{5}$

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto

$GE=GC=\sqrt{5}$

resultando evidente que

$AE = AG + GE = 1 + \sqrt{5}$

de donde, finalmente

$\frac{AE}{AD} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}= \varphi$

Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que éste último es asimismo un rectángulo áureo.

En el pentagrama

El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento, intersecta a otro segmento en una razón áurea.

El pentagrama incluye diez triángulos isóceles: cinco acutángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ. Estos triángulos se conocen como los triángulos áureos.

Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea Φ. Por lo tanto el número de veces en que aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al anidar infinitos pentagramas.

El teorema de Ptolomeo y el pentágono

Se puede calcular el número áureo usando el teorema de Ptolomeo en un pentágono regular.

Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante regla y compás. Aplicando este teorema un cuadrilátero es formado al quitar uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden b, y los lados y la base menor miden a, resulta que b² = a² + ab lo que implica:

${b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\,.$

Relación con los sólidos platónicos

El número áureo esta relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo. Los vértices de un icosaedro puden darse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos: (0, $φ$ , 1), (0, $φ$ , -1), (0, $- φ$ , 1), (0, $- φ$ , -1), (1, 0, $φ$ ), (1, 0, $- φ$ ), (-1, 0, $φ$ ), (-1, 0, $- φ$ ), ( $φ$ , 1, 0), ( $φ$ , -1, 0), ( $- φ$ , 1, 0), ( $- φ$ , -1, 0)

Los vértices de un dodecaedro también se puden dar en términos similares: (0, $φ$ , $φ$ ), (0, $φ$ , $- φ$ ), (0, $- φ$ , $φ$ ), (0, $- φ$ , $- φ$ ), ( $φ$ , 0, $φ$ ), ( $φ$ , 0, $- φ$ ), ( $- φ$ , 0, $φ$ ), ( $- φ$ , 0, $- φ$ ), ( $φ$ , $φ$ , 0), ( $φ$ , $- φ$ , 0), ( $- φ$ , $φ$ , 0), ( $- φ$ , $- φ$ , 0), (1, 1, 1), (1, 1, -1), (1, -1, 1), (1, -1, -1), (-1, 1, 1), (-1, 1, -1), (-1, -1, 1), (-1, -1, -1)

Las 12 esquinas de los rectángulos coinciden con los centros de las caras de un dodecaedro.

Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen y su área total se puden expresar también en términos del número áureo:

$A = a\frac {15\phi}{\sqrt{3 -\phi}}$

$V = a\frac {5\phi^3}{\sqrt{6 -2\phi}}$

Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, las 12 esquinas de los rectángulos áureos coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro, y con los centros de las caras de un dodecaedro:

El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro.

El número áureo en la Naturaleza [editar]

Concha de nautilus en espiral logarítmica

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea:

Existen cristales de Pirita dodecaédricos pentagonales (piritoedros)cuyas caras son pentágonos perfectos.
Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la parición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteo recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático . El cociente de dos términos sucesivos de la Sucesión de Fibonacci tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesión recurrente de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.^[3]

La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
La distribución de las hojas en un tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci.
La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles
La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).
La distancia entre las espirales de una Piña.

La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones aúreas. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento.^[4] ^[5] Se debe entender que en toda consideración natural, aunque involucre a las ciencias consideradas más matemáticamente desarrolladas, como la Física, ninguna relación o constante que tenga un número infinito de decimales puede llegar hasta el límite matemático, porque en esa escala no existiría ningún objeto físico. La partícula elemental más diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande que un punto en una recta. Las leyes observadas y descriptas matemáticamente en los organismos las cumplen transgrediéndolas orgánicamente.^[6]
Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver Filotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999..." En la naturaleza se medirá un ángulo práctico de 137º 30' o de 137º 30' 28" en el mejor de los casos. Para el cálculo se considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con la latitud y las estaciones, esto garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fue descubierto empíricamente por Church y confirmado matemáticamente por Weisner en 1875. En la práctica no puede medirse con tanta precisión el ángulo y las plantas lo reproducen "orgánicamente"; o sea, con una pequeña desviación respecto al valor teórico. En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci.

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Aplicaciones de las matematicas 2º